数学模型-手拉手模型（全等）

1.关于等边三角形的旋转型全等

【条件】：如图所示，△OAB和△OCD均为等边三角形；

【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED

练习1．探究等边三角形“手拉手”问题．

（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）解：结论：CE∥AB．

理由：如图1中，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝60°，

∴∠BAC＝∠ACE＝60°，

∴AB∥CE．

（2）证明：如图2中，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠AED＝∠ADE＝60°，

∵∠BEC＝60°，

∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，

∴∠ADB＝∠AEC＝120°，

∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，

∴B，D，E共线．

（3）解：结论：BE＝AE+EC．

理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠BAC＝60°，

∵∠BEC＝60°，

∴∠BAO＝∠OEC＝60°，

∵∠AOB＝∠EOC，

∴∠ABH＝∠ACE，

∵BA＝CA，BH＝CE，

∴△ABH≌△ACE（SAS），

∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，

∴∠HAE＝∠BAC＝60°，

∴△AEH是等边三角形，

∴AE＝EH，

∴BE＝BH+EH＝EC+AE，

即BE＝AE+EC．

【点评】本题属于等边三角形手拉手模型，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找全等。

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